Expression du terme général d'une suite géométrique

 Propriété

Soit  `v_0`  et  `q`  deux réels.
La suite  `(v_n)_(n\in\mathbb(N))`  est une suite géométrique de premier terme  `v_0`  et de raison  `q`  si et seulement si, pour tout entier naturel  `n` ,    \(\boxed{v_n=v_0\times q^n}\) .

Remarque

Cette propriété permet également de calculer le terme de rang  `n`  d'une suite géométrique à partir d'un autre terme que  `v_0` . En effet, si  `(v_n)_(n\in\mathbb{N})`  est une suite géométrique de premier terme  `v_0`  et de raison  `q` , alors pour tout entier naturel  `n` , alors, pour tout entier naturel  `p<=n`  : 
  `v_n=v_0\q^n=v_1\timesq^(n-1)=v_2\times q^(n-2)=...=v_p\timesq^(n-p)` .

`` Démonstration

Sens direct
On suppose que  `(v_n)_(n\in\mathbb(N))`  est une suite géométrique de premier terme  `v_0`  et de raison  `q` .  
Observons d'abord que, étant donné  `n` naturel supérieur ou égal à  `2` ,
`v_n=\color{red}{v_(n-1)}\timesq \ \text{mais} \ \color{red}{v_(n-1)=v_(n-2)\timesq} \ \text{donc} \ v_n=\color{red}{(v_(n-2)\timesq)}\timesq=v_(n-2)\timesq^2` .
De même, si `n`  est supérieur ou égal à  `3` ,  `\color{green}{v_(n-2)=v_(n-3)\timesq`  donc  `v_n=\color{green}{v_(n-2)}\timesq^2=\color{green}{v_(n-3)\timesq}\timesq^2=v_(n-3)\timesq^3`
et en poursuivant ce raisonnement jusqu'à atteindre le terme de rang  `0`  dans le membre de droite de l'égalité, on arrive à :  `v_n=v_1\timesq^(n-1)=v_0\timesq\timesq^(n-1)=v_0\timesq^n` . 

Sens réciproque
Réciproquement, si  `(v_n)_(n\in\mathbb(N))`  est une suite telle que, pour tout  `n`  entier naturel,  `v_n=v_0\timesq^n`  alors : 
  \(v_{\color{red}{n+1}}=v_0\times q^{\color{red}{n+1}}=\underbrace{v_0\times q^n}_{v_n}\times q=v_n\times q\) .
La suite  `(v_n)_(n\in\mathbb(N))`  est bien une suite géométrique de premier terme `u_0`  et de raison  `q` .